[1] Conque es una palabra con la que es muy probable que no tengas ningún problema (quiero decir, no es probable que sea la que estés utilizando a la hora de escribir), ya que lamentablemente hoy se usa más bien poco y, concretamente, se emplea en situaciones comunicativas formales o muy formales. Ahora bien, ¡ojo!, no vayas a pasar por alto esta explicación solo por este motivo. Y además, ten en cuenta que si a partir de ahora la utilizas en tus composiciones escritas vas a quedar muy pero que muy bien. Conque equivale a "así que", "de manera que" o cualquier nexo que tenga un valor consecutivo (es decir, que exprese la consecuencia de algo). Ej.: "torcerse un tobillo" puede ser una consecuencia de "pisar mal", de forma que una oración válida podría ser pisé mal el bordillo al subir las escaleras conque (= así que, de manera que...) me torcí el tobillo y tuve que acudir a urgencias.

Si falla la sustitución "así que", con que se escribirá en dos palabras, pero aquí tal vez podremos dudar entre dos fórmulas (una átona, con que, y otra tónica, con qué, con tilde):

[2] Con que tiene dos valores posibles, que veremos de forma diferenciada:

1. Podemos identificar esta combinación si puedo sustituirla por "con eso", "con algo" o "con la idea de que...": Mi padre volvió a abordar a mis amigos con que debíamos ser más cuidadosos = ... con eso / con algo / con la idea de que debíamos ser más cuidadosos.
2. También resulta fácil identificar esta secuencia cuando puede sustituirse por "con el cual / la cual / los cuales / las cuales": Este es el libro con que preparé la materia = ... con el que me preparé la materia. Evidentemente, es un uso que resulta afectado o formal.

[3] Con qué se escribe en dos palabras porque esta secuencia resulta de la combinación de la preposición "con" y el interrogativo "qué": Quise saber con qué había realizado el trabajo o, también, le pregunté con qué equipo se sentía más cómoda para realizar la actividad. Evidentemente, detrás de estas oraciones existen sendas oraciones interrogativas ("¿con qué habrá realizado el trabajo?" en una y "¿con qué equipo se sentirá más cómoda para realizar la actividad?" en otra). En [2.5.2] encontrarás más ejemplos y trucos, pero te adelantamos aquí algunos: (1) si "qué" es un pronombre interrogativo, es decir, no aparece seguido de ninguna clase de nombre o sustantivo, como en el primer ejemplo, podemos añadir "demonios", "diantre" o una palabra similar (quise saber con qué demonios había realizado el trabajo); si por el contrario el "qué" es un determinante y, por tanto, sí va seguido de un sustantivo, como en el segundo ejemplo, entonces la palabra que podemos añadir es "maldito/a", por ejemplo (le pregunté con qué maldito equipo se sentía más cómoda para realizar la actividad).