[1] Ahí es un adverbio de lugar (nos encontramos ahí justamente). Fíjate ahora en que las otras dos palabras se pronuncian de la misma manera, en una sola sílaba, [ai], mientras que esta, en cambio, se pronuncia en dos sílabas: es un hiato, [a-í]. Además, como se trata de un adverbio de lugar, se puede intercambiar con otro adverbio de lugar, como "allí", por ejemplo: nos encontramos allí justamente. El sentido de las dos oraciones apenas ha variado.

[2] Hay es una forma del verbo haber (hay una gran cantidad de libros en la biblioteca del instituto). Para escribirlo correctamente, o no confundirlo con el resto de formas, (a) podemos sustituirla por "existe", que es una palabra más formal o de significado algo más específico (existe una gran cantidad de libros en la biblioteca del instituto), o (b) podríamos cambiarla por otra forma de la conjugación del verbo "haber" (hubo / habrá / había una gran cantidad de libros en la biblioteca del instituto).

1. Por su parte, la perífrasis verbal hay que + infinitivo (ej., hay que practicar para mejorar) se escribe siempre de esta forma ("hay"), ya que está formada con el verbo "haber". Esta forma verbal compleja siempre expresa una obligación impersonal, por lo que puede ser sustituida por "se debe + infinitivo" o "se ha de + infinitivo", que expresan este mismo valor (= se debe practicar para mejorar o se ha de practicar para mejorar); asimismo, como contiene esta forma verbal, puede cambiarse por otra forma de la conjugación de "haber" (por ejemplo, "habrá", "había", etc.: habrá / había que practicar para mejorar).

[3] Ay, por su parte, es una interjección que sirve para expresar dolor u otras emociones (¡ay, me he hecho daño!). En este caso, podríamos repetirla tantas veces como quisiésemos, observando que siempre expresa esta emoción: ¡ay, ay, ay, me he hecho daño!