Podrías llegar a confundir, por un lado, "ha / a / ah" y, por otro, "he / e / eh", pues, aunque suene una sola vocal en las tres ocasiones ([a] o [e], según el caso), este sonido puede representarse de tres formas diferentes en función del contexto. Veamos cada una de estas posibilidades de forma diferenciada:

[1] Ha / A / Ah:

1. Ha es una forma de la conjugación del verbo "haber" (esta es la razón por la que se escribe con hache, porque este verbo la tiene en su infinitivo y la exige en todas las formas de su conjugación): ha trabajado muy esforzadamente esta semana. Para no confundirlo con otras formas homófonas, basta con sustituirlo por otras formas de este verbo, bien cambiando el número ("han", que está en plural, no en singular; así, a partir de la oración anterior, resultaría la siguiente, completamente gramatical: han trabajado muy esforzadamente esta semana), bien cambiando el tiempo (a futuro, por ejemplo: habrá trabajado muy esforzadamente esta semana; o a pasado: hubo trabajado muy esforzadamente esta semana).
2. A es una preposición (recuerda el listado que, de seguro, has estudiado recientemente: "a, ante, bajo, cabe, con...") y, como tal, es una palabra invariable: voy a bajar a comprar a la tienda de abajo. Por esa razón, al contrario que pasaba con la anterior forma, aquí no resultaría posible cambiarla por "han", "habrá" o "hubo", como en los ejemplos de [1.a], de manera que podemos concluir, por tanto, que, cuando no se pueda cambiar satisfactoriamente por otra forma de la conjugación del verbo "haber", se escribe sin hache (la oración anterior resultaría agramatical si operáramos el siguiente cambio: voy han bajar han comprar han la tienda de abajo.
3. Ah es una interjección que se utiliza para expresar sorpresa u otras emociones: ¡ah!, qué daño. Por eso observamos que tiene valor o sentido por sí misma (podríamos decir simplemente, en un determinado contexto, "¡ah!", pero no resultaría posible emplear, de la misma forma, "ha", o "a", porque son palabras que funcionan como auxiliares o como enlace de otras, por lo que no podrían aparecer por sí solas).

[2] He / E / Eh:

1. He, como en el caso examinado en [1.a], es una forma de la conjugación del verbo "haber", solo que de 1.ª persona en este caso: he trabajado muy esforzadamente esta semana. Observa que siempre aparece delante de un participio, junto al que actúa como auxiliar (en este caso, "trabajado"), y que podrías cambiarlo por otras formas de ese verbo, como pasaba en [1.a] también: ha / han / hemos trabajado muy esforzadamente esta semana.
2. E es la forma que adopta la conjunción "y", que aparece entre el penúltimo y último elementos de una enumeración, cuando la siguiente palabra comienza por <i> o por <hi> (salvo que sea <hie>, en cuyo caso no se utiliza "e" sino "y": trajo bronce y hierro): les presenté a Cristina e Isabel. Basta con hacer cambiar la siguiente palabra para que no comience por <i> o <hi> para comprobar que vuelve a ser "y": les presenté a Cristina y a Isabel.
3. Eh es, como [1.c], una interjección que se utiliza para expresar distintos estados de ánimo o para llamar la atención de otra persona: ¡eh!, te estoy llamando. Como también ocurría con "ah", tiene sentido o valor en sí misma, por lo que podría aparecer sola expresando alguno de los significados anteriores ("¡eh!"), algo que no podría ocurrir en ningún caso con las formas de [1.a] y [1.b].